[미적분의 쓸모], 한화택, 더퀘스트, 2021, (220406)

머리말 : 세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005

칼 세이건은 수학이란 우주 어디에나 통용될 수 있는 보편적인 언어라고 했다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고, 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 

 

I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011

 

세상에 움직이지 않는 것은 없다·015

 

세기의 발견과 가속도의 관계·017

 

속력은 방향에 관계 없이 크기만 가지고 있는 값(스칼라)이고 속도는 크기와 방향을 가진 값(벡터)이다. 

 

뉴턴은 천상계와 지상계 구분 없이 질량을 가진 모든 물체는 서로를 끌어당기는 힘이 있다고 생각했다. 

 

물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020

 

미분을 간단하게 한 단어로 정의하면 '변화'다. 미분을 이야기할 때 항상 뉴턴과 함께 이름을 올리는 수학자가 있다. 바로 고트프리트 빌헬름 라이프니츠다. 이 두 사람은 전혀 다른 방식으로 미분을 고안했다. 뉴턴은 시간에 따른 자연현상의 변화를 수학적으로 기술하기 위해 미분을 고한했지만, 라이프니츠는 미분의 체계를 우선시했다. 

 

우리는 차이를 통해 변화를 느낀다. 차이는 변화한 양이며 기존의 상태량과는 다르다. 열역학에는 상태와 과정이라는 용어가 나온다. 상태란 시간이 지나도 변화하지 않는 어떤 값을 갖게 하는 거시적 조건을 말한다. 그리고 상태량이란 상태를 정량화하는 특성값으로 온도, 압력, 질량, 부피 등의 물리량에 해당한다. 상태량들은 물리적 상태가 주어지면 정확하게 결정된다. 과정은 하나의 상태에서 다른 상태로 넘어가는 경로를 말한다. 압력이 일정한 상태에서의 변화를 등압과정, 온도가 일정한 상태에서의 변화를 등온과정이라 하는데,이러한 열역학적 과정을 거치면 상태량이 변화한다. 상태의 변화 과정은 경로에 따라서 다르지만, 도달한 상태인 현재 상태는 어느 경로를 통해서 그 지점에 도달하건 상관없이 일정한다.   

 

기본적으로 변화는 셋 중 하나다. 증가하는 경우와 감소하는 경우 그리고 변화하지 않는 경우다. 변화를 일으키는 조건의 차이를 이해해야 한다. 수학적으로 표현하면 함수값의 변화를 가져오는 독립변수(또는 입력변수)를 의미한다. 자연과학 분야에서 시간과 공간 좌표는 중요한 독립변수다. 독립변수, 즉 조건이 크게 바뀌면 결과적으로 나타나는 상태도 크게 변한다. 따라서 독립변수의 변화에 따른 상태의 변화를 상대적인 크기로 나타낼 필요가 있다. 

 

뉴턴의 가속도법칙으로 떠나는 우주선·031

 

도로의 무법자를 잡는 미분·034

 

과속방지카레라는 세 가지 종류가 있는데, 각기 다른 원리가 숨어 있다. 고정식 단속카메라는 미분의 원리를 이용해서 순산 속도(순간변화율)를 측정하고, 구간 단속카메라는 평균 속도(평균변화율)를 측정한다. 이동식 단속카메라는 주파수 변이에 따른 도플러효과를 이용한다. 고정식 카메라는 자동차의 규정 속도를 측정할 때의 기준은 매순간의 속도다. 평균 속도는 중요하지 않다. 그런데 많은 사람이 고정식 카메라가 속도를 측정하는데 생각하는데, 사실 고정식 카메라는 단지 통과 차량의 번호판을 찍는 역할만 한다. 속도 측정은 아스팔트 바닥에 설치된 감지선이 담당한다. 자동차가 어느 특정 지점을 지날 때의 속도를 측정해야 한다. 

 

뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·038

 

구간 단속카메라는 순간 속도를 측정하는 것이 아니라 구간 내의 평균 속도를 측정한다. 단속 구간이 시작되는 지점과 끝나는 지점의 통과 시간을 기준으로 구간의 평균 속도를 계산해서 과소 여부를 판정하는 것이다. 

 

통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·040

 

[미적분이 만든 미래] 새로운 우주탐사 시대, 회전 가속도를 측정하라·044

II. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법 : 최적화·053

 

현실적인 타협점을 구하라·056

 

최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·062

 

아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·065

 

학습이란 사람이나 동물이 직간접적인 경험이나 훈련에 의해서 스스로 지각하고 인지하면서 자신의 행동이나 인식의 변화를 가져오는 과정이다. 

 

현실을 반영한 모델, 인공신경망·069

 

인공신경망을 학습시킨다는 의미는 전달함수의 가중치를 조정한다는 말이다. 마치 정답을 알고 있는 선생님이 옆에 앉아서 맞는지 틀리는지 지도해주는 것과 같다. 그런가 하면 정답을 가르쳐주지 않는 비지도학습도 있다. 일명 자율학습이라 하는 것인데, 선생님 없이 자기가 알아서 학습하는 것이다. 혼자 공부할 때는 스스로 정답을 알아내야 한다. 하지만 정답을 모르더라도 주어진 데이터에서 어떤 규칙이나 특징을 찾아낼 수 있는 경우가 있다. 

 

인공지능을 학습시키는 최적의 방법, 경사하강법·074

 

딥러닝은 기계학습 중에서 다층의 복잡한 인공신경망 구조를 갖는 높은 수준의 기계학습으로 이해하면 된다. 우리말로는 깊이 있게 배운다는 의미에서 심층학습이라 한다. ○ 인공지능 : 인간이 가진 지능을 구현하는 컴퓨터 시스템을 통칭하여 이르는 말. ○ 기계학습 : 알고리즘과 통계를 써서 컴퓨터가 스스로 데이터를 분석하도록 하는 인공지능의 한 분야. ○ 딥러닝 : 뇌구조와 같은 다층 신경망을 운용하여 비선형 변환 기법으로 복잡한 데이터를 분석하는 높은 수준의 기계학습.

 

학습, 과한 것은 부족한 것만 못하다·082

 

[미적분이 만든 미래] 인공지능이 발달할 수 있었던 또 다른 요인들·085

III. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다 : 기하학·089

 

원의 면적을 구하는 고대 수학·092

 

특명, 코로나 확진자 발생률을 파악하라·098

 

미분에서 '상태량'과 '변화량'을 구별하는 것처럼 적분에서는 '합쳐지는 양'과 '합쳐진 결과량'을 구별해야 한다. 요즘 유행하는 코로나19 확진자를 예로 들면, 일일 확진자와 누적 확진자의 차이와 같다. 일일 확진자가 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 

 

미분할 때 어떤 변수로 미분하느냐가 중요한 것처럼, 적분할 때도 무엇으로 적분하느냐가 중요하다. 미분에서는 잘게 나누는 독립변수로 시간, 공간, 또는 다양한 물리 변수를 사용하는데, 적분에서도 마찬가지다. 미분에서 시간으로 미분하면 시간적 변화율, 거리로 미분하면 공간적 기울기가 되는 것처럼 적분에서도 길이 방향으로 적분하면 공간적누적량, 시간 방향으로 적분하면 시간적 누적량이 된다. 

 

적분을 활용한 오늘날의 측정 방법들·104

 

적분이 이끈 의학 발전, CT 촬영·110

 

[쓸모 있는 미적분 개념] 세상은 곡선이다! 세상을 설계하는 곡선 기하학·117

IV. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법 : 나비에-스토크스 유동 방정식·127

 

자연현상을 설명하는 미분 방정식들·131

 

유체 변화를 가장 잘 표현한 방정식·137

 

해가 없는 방정식을 활용하라! 전산유체역학 ·141

 

유동 방정식을 활용한 수학자, 오스카상을 받다·144

 

[미적분이 만든 미래] 대용량 데이터 압축이 가능해진 비결, 푸리에 변환·149

V. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가? : 미적분의 예측하는 힘·157

 

한계효용, 가장 만족스러운 결과가 나오는 순간·159

 

어디에 재난지원금을 지급해야 효용을 극대화할 수 있을까?· 161

 

미래는 어떻게 움직이는가·164

 

변화가 큰 삶 vs 안정적인 삶·169

 

내 미래자산은 언제 두 배가 될까? 근사계산법·175

 

단타 vs 장투, 미적분이 알려주는 안전한 투자 전략·180

 

[쓸모 있는 미적분 개념] 미적분으로 이해하는 경제학·191